Coraci Malta

English

HELMHOLTZ: Sound Sensations and the Theory of Music

Conference presented by Coraci P. Malta at the Laboratori Musicali Internazionali Estivi, organized by the “Associazione Melos Arte & Musica” at Castello di Cortanze (Italy), within the piano master courses of Prof. Fabio Luz.

Hermann Helmholtz has written an extraordinary treaty that constitutes both the physical and physiological basis of the Theory of Music. Its first edition was printed in 1863, and the 4th revised edition was printed in 1877 (“On the Sensations of Tone”, Hermann Helmholtz, Copyright 1954 by Dover Publications, Inc.). In 1885 Alexander J. Ellis published the translation into english especially adapted for students of music. The reading of this 19 century work is recommended for students of music as well as for those interested in working on physiological acoustics.

Amongst all the Arts, Music is the one that is very closely related to pure sensation, therefore the theory of hearing sensation plays an important rôle in the musical aesthetics. Sound is a wave produced by vibrations of elastic bodies that induce oscillations of the air. When the wave of air oscillations arrives at the ear, it sets the eardrum in oscillation. Helmholtz made investigations on the sensations of sound, and on the physiology of hearing, from the neural and mechanical points of view, and their implications to the Theory of Music.

Through our ears we experiment the sensations that are produced by tones and noise. Tones correspond to periodic oscillations, while noise corresponds to aperiodic oscillations. Vowels correspond to tones, consonants constitute noise. Tones are characterized by their: intensity, frequency, and quality.

• Intensity is related to the amplitude of the oscillatory motion. The larger the amplitude, the louder is the sound.

• Frequency is the number of vibrations performed in one second. Musical tones with frequency ranging from 40 to 4,000 vibrations per second (corresponding to an interval of 7 octaves) can be easily distinguished by the ear. The audibility interval goes from 20 to 40,000 vibrations per second (11 octaves), while the visual interval is smaller than one octave (the highest visible frequency is less than twice the smallest visible frequency).

• Quality characterizes the sound source and the way the sound has been produced: each musical instrument has a distinct tone quality. It depends on the way the oscillatory movement was produced, so the quality of sound depends also on the musician ability.

The pitchfork produces a pure or simple tone (single frequency) however, in general, tones do not correspond to a single frequency. On the contrary, they correspond to a superposition of many frequencies (harmonics) that are processed by the ears: but a person has to be trained to be able to distinguish those various harmonics. Helmholtz performed experiments that proved that a musical tone is a superposition of multiples of a certain frequency, known as fundamental frequency, thus confirming the law that had been previously proposed by Ohm. The mathematical proof of this law of decomposition in harmonics was provided by the french mathematician Fourier. In the piano the harmonics are rather strong so they can be easily heard, specially in the case of odd multiplicity. For example, the third harmonic of the central c is g' (the g of the 4th octave), so if one presses down the g' key very softly, and than strike the c strongly, one can distinctly hear the third harmonic g'. This third harmonic will not be heard if the c string is pinced at a point lying at 1/3 of its length.

It is rather striking the ability of the ear in distinguishing the various frequencies that constitute a tone. Helmholtz investigated how the ear performs this task both from the mechanical and neural points of view. The soundwave makes the air particles to oscillate with reasonably large amplitude. However, as the number of air particles is small, the force they exert on the drumskin is small. The fluid in the labirinth is denser than the air, and to be set in oscillation it requires a great force. The eardrum apparatus has to transform a motion of great amplitude and small force, into a motion of small amplitude and great force. He showed that the shape of the drumskin plays a fundamental rôle: its convexity increases when the pressure in the auditive channel decreases, and vice-versa. This is the mechanism that causes the amplification of the force exerted on the drumskin by the oscillating air particles. He conjectured that different parts of the ear vibrate in resonance with individual tones, thus the ear ability to analyze the individual frequencies (pitches) present in a given tone. The cochlea is connected to a set nerve of fibers that vibrate in resonance with simple tones. There exist 4200 fibers in the human cochlea for the seven octaves of musical instruments, i.e., 50 fibers for each semitone (1 fiber for 2/100 of a semitone). This explains the musicians ability to distinguish frequency difference of 0.5 vibrations per second.

The shape of the drumskin is also responsible for a very special type of sound sensation, known as combination of tones (this phenomenon was discovered in 1745 by the german organist Sorge): when two tones having completely different frequencies are produced simultaneously with high intensity and continuously, they combine producing two new tones having frequencies completely different from the frequencies of the original tones. One of the frequencies is equal to the difference of the original frequencies (more intense tone), and the other frequency is equal to the sum of the original frequencies. A high intensity wave sound produces a large deformation in the eardrum membrane. Due to its shape, its response is not linear when it undergoes a large deformation, thus the phenomenon of combination of high intensity tones.

The phenomenon of tones combination should not be confused with the beat phenomenon that occurs when two simple tones, having close frequencies, are sounded simultaneously. The beat frequency is equal to the difference of frequencies of the simple tones. Beat is easily observed in the piano when one of the strings of a keynote is out of tune. When the beat frequency is low the ear is able to process it well, but when the beat frequency is high (more than 30 vibrations per second) the sound becomes a succession of pulses causing a bad sensation. Dissonance is related to the existence of high frequency beat. The intermitent excitation of the neurons terminal causes an unpleasant sensation. The difference between consonance and dissonance is related to physical, not to psychological causes.

The quality of the musical tone depends on the number of harmonics and on their intensity relative to the that of the fundamental frequency. The their intensity is, the better the quality. Tones having low intensity harmonics do not have brightness. The differences observed in the quality of tones produced by the musical instruments are related to the way the harmonics are produced, and to the noise produced by the process of generating the vibration.

In string instruments, the intensity of the harmonics that are produced when a string is vibrated depends on:

· the way the vibration has been produced;

· the point where the string was set into vibration;

· the density, rigidity and elasticity of the string.

In the case of the piano, it is possible to compare the quality obtained by plucking the string in different ways: using the finger, metal or felt hammer: the sound is more harmonious when a soft instrument is used. This is why the piano hammer heads are made of felt, the inner layers being harder than the external ones. The heavier the hammer, and the thicker the felt layer, the longer the hammer head remains in contact with the string. The contact time determines the harmonics that are more favoured: those having period equal twice the string-hammer contact time. The harmonics having period equal to 6, 10, 14 etc. times the contact time are eliminated.

To have a good quality, the tone must have many harmonics, the higher order harmonics having low intensity. In the piano the harmonics higher than 9 are naturally weak. The piano hammer heads are designed for that: they are heavy and soft for the lower frequency region, light and hard for the higher frequency region. The very place where the hammerhead strikes the string plays an important rôle in the quality of tones as those harmonics for which that point of the string should remain at rest will not be present. The hammer should not strike the string close to its extremities because the intensity of the fundamental frequency would be weakened relative to its harmonics. For the middle part of the piano the hammer strikes the string at a point lying in the interval between 1/7 to 1/9 of its length (depends on the musical scale adopted), so that the 7th and higher harmonics are eliminated. This choice has resulted from 2 centuries of technical experience: the finest musical tone is obtained when the string is stricken in this region. The piano is extremely rich regarding quality of tone: no other instrument can produce a variety of quality of tone as large as the piano. The piano is built so that in the central region the fundamental frequency is less intense than the 2nd, 3rd and 4th harmonics. As a consequence the dissonances close to the octave (sevenths and ninths) are as unpleasant as the seconds. Moreover, the diminished and augmented twelfths and fifths are rather rough. Even though the piano has such large number of harmonics, the dissonances do not produce a penetrating sensation like in other instruments because after the notes are struck, their intensity diminishes rapidly so that the beats start when the tone intensity is low. Since L. van Beethoven the compositions for piano contain many dissonances, nevertheless they are agreable to the ear, do not produce an unpleasant sensation. However, if these compositions were played in the organ, the dissonances would be enhanced because in the organ the beats will have high intensity making dissonances unbearable.

Flexibility of the string is very important to guarantee the presence of several harmonics. Thin strings are more flexible, so the piano is constructed with thin strings whenever it is possible, and the graver strings that must be thicker are constructed with copper layers so as to guarantee flexibility.

From the point of view of theory the transition from consonance to dissonance is smooth. The distinction made between consonance and dissonance is arbitrary, and is connected to the musical scale adopted. The modern scale (tempered) does not accept notes characterized by the number 7, this is the reason for constructing the piano so as to eliminate the 7th harmonic (by guaranteeing that the hammer head strikes the string at the right position, as explained before). The development of harmonic scales was mainly due to the advent of opera: harmonic scales are essential for the development of simultaneous melodies. The scales are constructed so that composite tones have several harmonics in common. ALL existing scales favor in particular the octave and the fifth intervals. In the octave interval the higher note enhances the lower one, producing an aesthetic effect that is very much appreciated. In the fifths, the third harmonic of the lower note coincides with the 2nd harmonic of the higher note. The tempered scale (octave divided in 12 equal intervals) adopted for the piano is the best choice possible. Any other division of the octave interval would bring in the unpleasant sensation caused by intenser beats. The 3rds and sixths are in the limit of resolution ability of the auditive system and cause the most pleasant sensation. These augmented 3rds and sixths can be appreciated only if the first 5 harmonics are audible.

Coraci P. Malta

Since 1972, faculty member of Instituto de Física, Universidade de São Paulo, São Paulo, Brazil; obtained the DPhil degree at University of Sussex, Brighton, UK; has 57 scientific publications, coordinator of the research project "Classical and Quantum Dynamical Systems" from April 2004 through March 2009 (financed by FAPESP). Studies piano since the age of 6

Português

HELMHOLTZ: Sensações Sonoras e a Teoria da Música

Conferência ministrada por Coraci P. Malta, na classe de aperfeiçoamento e excelência em piano do Prof. Fabio Luz realizada no âmbito de “Laboratori Musicali Internazionali Estivi”, que tem lugar anualmente através da “Associazione Melos Arte & Musica” no Castelo de Cortanze (Itália).

Hermann Helmholtz escreveu um tratado extraordinário que constitui a base físicofisiológica da Teoria da Música. A primeira edição data de 1863, e a quarta edição, com revisões, data de 1877 (“On the Sensations of Tone”, Hermann Helmholtz, Copyright 1954 by Dover Publications, Inc.). Alexander J. Ellis publicou uma tradução para inglês, em 1885, adaptada para estudantes de música. Até hoje sua leitura è recomendável tanto para estudantes de música quanto para quem deseja trabalhar com acústica fisiológica.

Dentre todas as Artes, Música é aquela que guarda relação mais estreita com sensação pura, consequentemente a teoria das sensações auditivas desempenha papel importante na estética musical. O Som é produzido por oscilações de corpos elásticos, que induzem oscilações do ar que, ao chegarem ao ouvido, colocam-no em oscilação. Helmholtz investigou sobre as sensações sonoras e sobre a fisiologia da audição, do ponto de vista mecânico e nervoso, e suas implicações para a Teoria da Música.

As sensações que experimentamos através dos ouvidos são produzidas por tons ou ruído. Tons correspondem a movimentos (oscilações) periódicos, ao passo que ruído corresponde a movimentos aperiódicos. Vogais correspondem a tons, consoantes constituem ruído. Tons musicais são caracterizados por: intensidade, freqüência, timbre.

• Intensidade: está ligada à amplitude do movimento. Quanto maior a amplitude, mais alto é o som.

• Freqüência: número de vibrações executadas por segundo. Tons musicais com freqüências entre 40 e 4000 vibrações por segundo (corresponde a 7 oitavas de extensão) podem ser facilmente distinguidos pelo ouvido. O intervalo de audibilidade vai de 20 a 40.000 vibrações por segundo (11 oitavas), mostrando que a capacidade auditiva é muito superior à visual (o intervalo visível não chega a uma oitava, ou seja, a maior freqüência visível é menor do que o dobro da menor).

• Timbre: caracteriza a fonte sonora, cada instrumento tem um timbre diferente. O timbre depende da forma como o movimento vibratório foi produzido, e dos ruídos produzidos pelo processo de geração da vibração.

O diapasão produz uma nota musical pura (freqüência única), mas tons em geral não correspondem a uma nota musical pura. Ao contrário, correspondem a uma superposição de vários harmônicos, que o ouvido processa, mas é difícil uma pessoa distinguir os vários harmônicos sem ter sido treinada para isso. Helmholtz mostrou, através de observações experimentais, que um tom musical é uma superposição de vibrações simples cujas freqüências são múltiplos de uma freqüência chamada de fundamental, confirmando lei proposta anteriormente por Ohm. E essa lei de decomposição para vibrações periódicas foi provada pelo matemático francês Fourier. No piano, os harmônicos são razoavelmente fortes, por isso é possível ouvi-los com alguma facilidade, especialmente os ímpares (soar g’, suavemente, depois o c, com força, e será possível ouvir o g’, que é o terceiro harmônico do c). Para confirmar que ouvimos somente harmônicos presentes na nota musical, basta pinçar a corda c a 1/3 do seu comprimento (isso elimina o terceiro harmônico g’); em seguida, se pinçarmos um pouco adiante desse ponto, g’ será claramente ouvido.

A capacidade do ouvido de distinguir as vibrações simples, que compõem os tons, é impressionante. E Helmholtz analisou como o ouvido executa essa tarefa, do ponto de vista mecânico e nervoso. Ele mostrou que a forma da membrana do tímpano desempenha papel fundamental. A membrana tem uma convexidade que aumenta quando diminui a pressão no canal auditivo, e vice-versa. Através desse mecanismo, ocorre a amplificação da força que o ar em movimento exerce sobre o tímpano. Ele concluiu que cada parte do ouvido vibra em freqüência específica (ressonância), daí a capacidade que o ouvido tem de separar o tom musical em suas freqüências elementares. Os terminais dos nervos auditivos estão conectados a um conjunto de fibras de elasticidade variável, que entram em ressonância com vibrações externas. Há cerca de 4200 fibras para o intervalo de 7 oitavas usadas na música, ou seja, 50 fibras para cada semitom (1 para 2/100 de semitom), o que explicada a capacidade de músicos em distinguir diferenças de freqüência da ordem de 0,5 vibração por segundo.

A forma da membrana do tímpano é ainda responsável por um tipo especial de sensação sonora, denominada combinação de tons (fenômeno descoberto em 1745 pelo organista alemão Sorge): quando dois tons, de freqüências diferentes, são produzidos simultaneamente, com muita intensidade e de modo contínuo, ocorre a combinação, surgindo tons de outras freqüências (e seus harmônicos). Um dos tons (mais intenso) tem a freqüência igual à diferença das freqüências originais, e o outro tem a freqüência igual à soma. Esse fenômeno ocorre porque a membrana do tímpano, em virtude de sua forma, tem resposta não linear quando sofre deformações que não sejam infinitesimalmente pequenas, como acontece quando a intensidade é grande.

A combinação tonal não deve ser confundida com o fenômeno de batimento, que ocorre quando dois tons musicais, de freqüências próximas, soam simultaneamente. As deformações da membrana do tímpano são infinitesimais, mas a composição das sensações sofre perturbação. A freqüência do batimento é igual à diferença das freqüências. É facilmente observada soando uma nota do piano que esteja com uma de suas cordas desafinada. Quando o batimento é lento, o ouvido consegue processá-lo, mas quando é rápido (mais de 30 por segundo), o som se torna uma sucessão de pulsos e causa uma sensação desagradável. A dissonância está associada à presença de batimentos rápidos. A excitação intermitente dos terminais nervosos causa a sensação desagradável. Portanto, a diferença entre consonância e dissonância está ligada a causas físicas e, não, a causas psicológicas.

A qualidade musical do timbre relaciona-se à presença de harmônicos, em relação de intensidade do fundamental com a de seus harmônicos. Ela será melhor quanto mais próximas forem essas intensidades. Tons com harmônicos fracos não têm brilho. As diferenças de timbre dos vários instrumentos estão associadas ao modo como os harmônicos são produzidos e aos ruídos que acompanham a geração da vibração.

Nos instrumentos de corda, a intensidade dos harmônicos, quando a corda é vibrada, depende:

· do modo como a vibração foi produzida;

· do lugar onde a corda foi vibrada;

· da densidade, rigidez e da elasticidade da corda.

No caso do piano, é possível comparar os timbres que resultam quando uma corda è vibrada de diferentes modos (dedo, martelo de metal etc.). Observa-se que o som obtido pinçando a corda com o dedo (macio) é mais harmonioso do que o som produzido acionando a corda com objeto metálico. È por isso que os martelos do piano são feitos de feltro, sendo as camadas mais internas mais firmes do que as externas. Quanto mais pesado o martelo, e mais grossa a camada de feltro, mais tempo ele permanece em contato com a corda. E esse tempo determina os harmônicos que são mais favorecidos: são aqueles cujo período é igual ao dobro do tempo de contato do martelo com a corda (os harmônicos que desaparecem tem período igual a 6, 10, 14, etc. esse tempo).

A boa qualidade do timbre requer a presença de vários harmônicos, mas os harmônicos de ordem muito alta devem ter baixa intensidade. No caso do piano, acima do 9º eles são naturalmente fracos. Os martelos são projetados para conseguir esse resultado: são pesados e macios para as notas graves, e leves e duros para as notas mais agudas.

O lugar onde o martelo bate na corda também desempenha papel importante na qualidade do som, uma vez que não soará o harmônico para o qual o ponto de vibração deveria permanecer em repouso. O martelo não deve bater próximo às extremidades da corda porque a intensidade da freqüência fundamental seria enfraquecida em relação à de seus harmônicos. A posição de ataque dos martelos foi determinada pela experiência técnica de 2 séculos, de modo a produzir o timbre mais harmonioso, não foi determinada cientificamente, mas depende da escala musical adotada. Na parte central do piano, o martelo bate na corda num ponto que dista da extremidade da corda de 1/7 a 1/9 do seu comprimento. Dessa maneira, os harmônicos acima do 6º são praticamente eliminados. O piano é um instrumento singular: tem enorme plasticidade timbrística. A opção de timbre adotada é tal que, na região central (c’’, por exemplo), a freqüência fundamental é menos intensa que os harmônicos 2 a 4 (comparar com som da corda pinçada). A conseqüência disso é que as dissonâncias perto das oitavas (sétimas e nonas) soam quase tão desagradáveis quanto as segundas, e as 12ª e 5ª diminuídas e aumentadas são ásperas. Apesar de o piano ter um grande número de harmônicos, as dissonâncias não produzem sensação penetrante, como em outros instrumentos, porque as notas perdem rapidamente intensidade depois de soadas, e os batimentos começam quando o som já ficou fraco. Desde Beethoven, as composições para piano têm muitos intervalos dissonantes, e soam agradável. Essas peças, executadas em órgão, deixarão as dissonâncias evidentes porque os batimentos terão mais intensisade.

Quanto às cordas, flexibilidade é muito importante para garantir a presença de vários harmônicos. Cordas finas são mais flexíveis, por isso o piano é construído com várias cordas finas quando possível, e as cordas mais graves, que requerem maior espessura, são contruídas de modo a garantir flexibilidade (com camadas de cobre).

A transição de harmonia para dissonância se dá de forma contínua, do ponto de vista da teoria. A distinção que é feita usualmente é arbitrária, mas está ligada à escala musical utilizada. A escala moderna não pode aceitar notas caracterizadas pelo número 7, e é por isso que pianos são construídos de modo a eliminar o 7º harmônico (determinado pela posição de ataque dos martelos). A ópera foi a principal causa do desenvolvimento da escala harmônica, pois ela é essencial para permitir o desenvolvimento de várias linhas melódicas de modo harmonioso. Além do princípio Estético, a construção das escalas tem como princípio que tons compostos devem ter harmônicos em comum. Isso é evidenciado pelo fato de TODAS as escalas darem maior importância para dois intervalos específicos: oitava e quinta. A oitava parece ser uma repetição simples, onde nada é adicionado (a nota mais aguda apenas reforça a nota mais grave), mas essa simplicidade é a causa do efeito estético da oitava. O intervalo de quinta caracterizase por ter o 3º harmônico da nota mais grave, coincidindo com o 2º harmônico da nota mais aguda. Para o piano, a escala adotada, intervalo de oitava dividido em 12, é a melhor possível. Qualquer outro tipo de divisão não traria ganhos do ponto de vista de harmonia, no sentido que aumentaria a presença e intensidade de batimentos. Os intervalos mais agradáveis são terças e sextas, que estão no limite de resolução do sistema auditivo. As terças e sextas maiores só podem ser apreciadas se os primeiros 5 harmônicos forem audíveis. As correspondentes menores justificam-se apenas por serem inversões dos intervalos maiores.

Coraci P. Malta

Docente dal 1972 all’Istituto di Fisica dell’Università di San Paolo – Brasile,

e specializzatasi in Inghilterra, svolge lavori di ricerca per cui ha 57 pubblicazioni scientifiche, tra li altri come coordinatrice del progetto

“Caos in sistemi classici e quantici”.

Studia pianoforte fin da giovanissima età.

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• Couleurs sonores, timbre et harmoniques
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